TD Accroissements Finis - Etude de Fonctions

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exercices (sans correction) sur le théorème des Accroissements Finis et Etude de Fonctions

Nom du fichier : TD10 accfinis By ExoSup.com.pdf
Taille du fichier : 120 KB
Date de publication : 16/11/2014

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exercices sur le théorème des Accroissements Finis et Etude de Fonctions



extrait

dérivable
la tangente au point d'abscisse
est parallèle à la corde joignant les
points d'abscisse
Prouver que f est un polynôme de degré au plus 2.
Montrer qu'il exite une tangente à la courbe représentative de f qui passe par l'origine
Soit P un polynôme réel ayant n racines réelles distinctes. Montrer que P' en a
au moins n − 1
En utilisant le théorème des accroissemnts finis TAF, montrer que
est croissante
sont tangentes
On suppose que f(x) et xf0(x) admettent des limites finies en 0. Montrer que
continue et drivable sur
Les réciproques sont-elles vraies ?
Règle de l'Hospital
dérivables sur l'intervalle
éventuellement infini
En utilisant le théorème des accroissements finis et en distinguant éventuellement
les cas x > 0 et x < 0 démontrer que
A l'aide du théorème des accroissements finis, calculer lim
a) Montrer qu'il existe un unique réel l tel que cos(l) = l. En déduire que 0 ≤ l ≤ 1.
e) En déduire que u converge vers l.
Etude de Fonctions
Montrer que f est constante.
Étudier le sens de variation des fonctions f et g défnies sur [0, π/2[ par f(x) =
tan x − x et g(x) = tan x − x − x33 . En déduire que l'on a tan x > x + x33 si x ∈]0, π/2[.
b) Etudier le sens de variation de la fonction f(x) = sin(x)/x sur l'intervalle ]0, π].
a) Déterminer les domaines de défnition et de dérivabilité de f et de g. Calculer f0 et g0 et en
déduire les variations de f et de g. Donner les extrema locaux de f et de g. Y a-t-il des extrema
globaux ?
b) Trouver les asymptotes aux graphes de f et de g.
c) Déterminer les intervalles où les fonctions f et g sont convexes ou concaves et leurs points
d'infexion.
d) Tracer les graphes de f et de g
Etudier la fonction f : x 7→ x5 − 5x + 1 sur R et en déduire que l'équation
x5 − 5x + 1 = 0 a trois solutions réelles.
b) Étudier le sens de variation de la fonction x → sin(x)/x sur l'intervalle ]0, π].
Etudier les fonctions suivantes et tracer leurs courbes représentatives :
Construire le graphe des fonctions suivantes
Préciser les points d'infexion
 
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