Analyse Complexe cours et exercices

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Analyse Complexe cours et exercices

Analyse Complexe
Philippe Charpentier
Université Bordeaux I
LABORATOIRE DE MATHÉMATIQUES PURES
Septembre 2010

Analyse Complexe cours et exercices
contenu:
  1. Formes différentielles, homotopie
  2. Fonctions holomorphes
  3. Fonctions harmoniques
  4. Transformations biholomorphes, Théorème de Riemann
  5. Intégration en polaires

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Table des matières
Préface
CHAPITRE I. Formes différentielles, homotopie
I.1. Définitions générales
I.2. Intégration des 1-formes différentielles
I.2.1. Définitions générales et formule de Stokes
I.2.2. Indice d’un lacet par rapport à un point .
I.3. Homotopie
I.4. Deux applications
I.4.1. Logarithme complexe
I.4.2. Quelque propriétés de l’indice
Exercices . .
CHAPITRE II. Fonctions holomorphes
II.1. Définition et propriétés fondamentales
II.2. Premières propriétés des fonctions holomorphes
II.3. Séries de Laurent et Théorème de l’application ouverte
II.4. Le Théorème de Phragmen-Lindelöf
Exercices
CHAPITRE III. Fonctions harmoniques
III.1. La formule de Green
III.2. Fonctions harmoniques et sous-harmoniques et propriété de la moyenne
III.3. Le problème de Dirichlet classique dans une boule
III.4. Cas particulier de la dimension 2, liens avec les fonctions holomorphes
III.4.1. Noyaux de Green et de Poisson du disque unité et fonctions harmoniques
III.4.2. Fonctions sous-harmoniques
III.4.3. Intégrale de Poisson et fonctions holomorphes
Exercices
CHAPITRE IV. Théorème de Runge, équations de Cauchy-Riemann et Théorème de Weierstrass
IV.1. Théorème de Runge et enveloppes d’holomorphie
IV.2. Résolution C ∞ des équations de Cauchy-Riemann
IV.3. Le Théorème de Weierstrass
IV.3.1. Première démonstration du Théorème de Weierstrass
IV.3.2. Produits infinis de fonctions holomorphes
IV.3.3. Les facteurs élémentaires de Weierstrass
IV.3.4. La sphère de Riemann
IV.3.5. Seconde démonstration du Théorème de Weierstrass
Exercices
CHAPITRE V. Transformations biholomorphes, Théorème de Riemann
V.1. Généralités
V.2. Exemples de groupes d’automorphismes
V.2.1. Le groupe des automorphismes de C
V.2.2. Le groupe des automorphismes de la sphère de Riemann
V.2.3. Le groupe des automorphismes du disque unité D
V.3. Le Théorème de Riemann
V.4. Régularité au bord des transformations conformes
Exercices
CHAPITRE VI. Prolongement analytique, fonctions modulaires, Théorème de Picard
VI.1. Le cas des séries entières
VI.2. Le Théorème de Monodromie
VI.3. Fonctions modulaires
VI.4. Le Théorème de Picard
VI.4.1. Un Théorème de Landau et un Thèorème de Bloch
VI.4.2. Un Théorème de Schottky
VI.4.3. Démonstration du Grand Théorème de Picard
Exercices
Annexe
CHAPITRE A. Intégration en polaires
A.1. Mesure euclidienne (ou invariante) sur une sphère
A.2. Intégration en polaires
CHAPITRE B. Mesure euclidienne sur une sous-variété différentiable. Intégration par « tranches »
B.1. Cas des sous-variétés paramétrées
B.2. Cas général
Index

Bibliographie
[Ahl53] L. V. Ahlfors, Complex analysis, an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable, Interna
tional series in pure and applied mathematics, McGraw-Hill, 1953.
[AM04] E. Amar and E. Matheron, Analyse complexe, Cassini, 2004.
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[Con78] J. B. Conway, Functions of one complex variable, second edition ed., Graduate Texts in Mathematics, vol. 11, Springer
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[Dol90] P. Dolbeault, Analyse complexe, Maîtrise de mathématiques pures, Masson, 1990.
[Hei62] M. Heins, Selected Topics in the Classical Theory of Functions of a Complex Variable, Selected topics in Mathematics,
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[Lan85] S. Lang, Complex analysis, second edition ed., Graduate Texts in Mathematics, vol. 103, Springer Verlag, 1985.
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[Nar85] R. Narasimhan, Complex analysis in one variable, Birkhäuser Verlag, 1985.
[NN01] R. Narasimhan and Y. Nievergelt, Complex analysis in one variable, Birkhäuser Verlag, 2001.
[Rud87] W. Rudin, Analyse réelle et complexe, Masson, 1987.
[Seg81] S. L. Segal, Nine Introductions in Complex Analysis, Mathematics Studies, vol. 53, North-Holland, 1981.
[Yge01] A. Yger, Analyse complexe et distributions, Editions Ellipses, 2001.

 
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