analyse complexe et les séries de Fourier

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analyse complexe et les séries de Fourier

Ernst Hairer et Gerhard Wanner
Université de Genève
Section de mathématiques
Case postale 240
CH-1211 Genève 4
Octobre 2006
analyse complexe et les séries de Fourier
Table de matiere
I Differentiabilité dans C
I.1 Les nombres complexes et le plan complexe
I.2 Fonctions complexes d’une variable complexe
I.3 Equations de Cauchy–Riemann
I.4 Propriétés de fonctions holomorphes
I.5 Séries et fonctions analytiques
I.6 Holomorphie et analyticité des séries entières
I.7 Calcul avec des séries
I.8 La fonction exponentielle et le logarithme
I.9 Exercices
II Calcul integral et théorie de Cauchy
II.1 Chemins et courbes
II.2 Intégrales curvilignes
II.3 Existence des primitives
II.4 Théorème fondamental de Cauchy
II.5 Formule intégrale de Cauchy
II.6 Dérivées supérieures d’une fonction holomorphe
II.7 Théorème fondamental de l’algèbre
II.8 Principe du maximum
II.9 Prolongement analytique et théorème de l’image ouverte
II.10 Exercices
III Singularites et fonctions méromorphes
III.1 Le point à l’infini et la sphère de Riemann
III.2 Le développement de Laurent
III.3 Singularités isolées
III.4 Théorème des résidus
III.5 Calcul d’intégrales par la méthode des résidus
III.6 Fonctions méromorphes
III.7 Principe de l’argument
III.8 Exercices
IV Series de Fourier
IV.1 Définitions mathématiques et exemples
IV.2 Lemme de Riemann et fonctions à variation bornée
IV.3 Etude élémentaire de la convergence
IV.4 Noyau de Dirichlet et convergence ponctuelle
IV.5 Le phénomène de Gibbs
IV.6 Fonctions continues, Théorème de Fejér
IV.7 Systèmes orthogonaux
IV.8 L’espace de Hilbert ℓ2
IV.9 Ondelette de Haar
IV.10 Exercices
V Equations aux derivées partielles
V.1 Equation des ondes (corde vibrante)
V.2 L’équation de la chaleur
V.3 Le problème de Dirichlet pour l’équation du potentiel
V.4 Equation des ondes (membrane circulaire)
V.5 Transformation de Fourier
V.6 Exercices


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Œuvres genérales sur l’analyse complexe et les séries de Fourier
Il y a un grand assortiment de livres qui introduisent le sujet d’analyse complexe (voir le rayon
30 à la bibliothèque de la section de mathématiques et aussi le rayon 27 pour des traités généraux
d’analyse). Des livres sur l’analyse de Fourier se trouvent au rayon 42. En voici quelques ex
emples. Les numéros entre chrochets (p. ex. [MA 30/213]) vous permettent de trouver le livre
facilement à la bibliothèque.
L.V. Ahlfors (1979): Complex Analysis. McGraw-Hill. [MA 30/62]
T. Apostol (1957): Mathematical Analysis. Addison-Wesley. [MA 27/51]
H. Behnke & F. Sommer (1962): Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veranderlichen. ¨
Springer-Verlag. [MA 30/91]
J.C. Burkill & H. Burkill (1970): A Second Course in Mathematical Analysis. Cambridge University Press.
[MA 27/152]
H. Cartan (1961): Theorie élémentaire des fonctions analytiques d’une ou plusieurs var ´ iables complexes.
Hermann. [MA 30/101]
J. Conway (1973): Functions of one complex variable. Springer. [MA 30/152]
H. Dym & H.P. McKeen (1972): Fourier Series and Integrals. Academic Press. [MA 42/62]
W. Fulks (1993): Complex Variables. M. Dekker. [MA 30/268]
T.W. Gamelin (2001): Complex Analysis. Springer. [MA 30/300]
R. Godement (1998): Analyse mathematique II et III. ´ Springer. [MA 27/274]
P. Henrici (1974): Applied and Computational Complex Analysis. John Wiley & Sons. [MA 30/166]
A. Hurwitz & R. Courant (1964): Funktionentheorie. Springer-Verlag. [MA 30/100]
E. Neuenschwander (1996): Riemanns Einfuhrung in die Funktionentheorie. ¨ G¨ottingen; cours donné par
Riemann à l’Université de G¨ottingen 1855–1861.
R. Remmert (1991): Theory of Complex Functions. Springer. [MA 30/213]
M. Rudin (1978): Analyse reelle et complexe. ´ Masson. [MA 27/95]
G.P. Tolstov (1962): Fourier Series. Dover. [MA 42/115]
J.S. Walker (1988): Fourier Analysis. Oxford University Press. [MA 42/110]
Avant-propos
Ce polycopié contient la matière du cours “Analyse II (analyse complexe)” enseigné pendant les
années 1999 - 2002 par Gerhard Wanner et pendant l’année académique 2005/06 par Ernst Hairer
à la Section de mathématiques de l’Université de Genève. Les portraits de la page 1 ont été copiés
sur l’adresse Internet http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/∼history/Mathematicians/ .
En ce lieu, nous aimerions remercier Assyr Abdulle, Stéphane Cirilli, Ghislain Jaudon, Gilles
Vilmart et des nombreux assistants et étudiants soit pour leur aide dans la préparation des exercices
soit pour la correction des erreurs (typographiques et mathématiques).



Analyse complexe
“COMPLEXE adj. (lat. complexus, qui contient). Qui contient plusieurs éléments différents
et combinés d’une manière qui n’est pas immédiatement claire pour l’esprit, qui est difficile à
analyser.” (Petit Larousse illustré 1983)
L’analyse complexe moderne a été développée au 19 ème siècle par trois mathématiciens célèbres :
A.L. Cauchy (1789–1857) considère des fonctions différentiables dans lC (fonctions holo
morphes ou analytiques). Sa théorie est basée sur une représentation intégrale de telles
fonctions (formule de Cauchy) et sur les résidus.
B. Riemann (1826–1866) publie sa thèse “Grundlagen f¨ur eine allgemeine Theorie der
Functionen einer ver¨anderlichen complexen Gr¨osse” en 1851. Pour lui, la conception géo
métrique occupe une place prépondérante.
K. Weierstrass (1815–1897) appuie sa théorie sur les fonctions développables en séries
entières (fonctions analytiques), il en résulte une approche algébrique de l’analyse complexe.
Aujourd’hui, les trois approches sont confondues et inséparables. De cette manière il est possible
de simplifier la théorie et de trouver des résultats importants.
“La théorie de Cauchy contenait en germe à la fois la conception géométrique de Riemann et la
conception arithmétique de Weierstraß, ... la méthode de Riemann est avant tout une méthode
de découverte, celle de Weierstraß est avant tout une méthode de démonstration.”
(H. Poincaré 1898, Acta Math. 22, p. 6–7)
Dans ce cours nous abordons la théorie du calcul différentiel dans lC (chapitre I) et des fonctions
holomorphes selon Riemann. Nous suivons ensuite le cheminement de Cauchy (intégrales com
plexes, formule de Cauchy) dans le chapitre II et nous démontrons que toute fonction holomorphe
est analytique (possède un développement en série enti` ere). Nous traitons les singularités et le
calcul de résidus dans le chapitre III.
 
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