livre:analyse complexe

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livre d'analyse complexe


contenu:
  1. Séries entières et fonctions analytiques
  2. Fonctions holomorphes
  3. Intégrales curvilignes, primitives
  4. Points singuliers, fonctions méromorphes
  5. Le théorème des résidus
  6. Exemples de constructions de fonctions

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TABLE DES MATIERES
Préface
Prérequis
Sources, références et remerciements
Et après ?
Résumé des propriétés utilisées
Notions de topologie générale
Vocabulaire des séries numériques, des séries de fonctions
Les bases du calcul différentiel
I. Séries entières et fonctions analytiques
I.1. Définition des fonctions analytiques
I.2. Les principes des zéros isolés et du prolongement analytique
I.3. Dérivabilité et analyticité des séries entières convergentes
I.4. Exponentielle et surtout logarithme
Exercices
II. Fonctions holomorphes
II.1. Définition des fonctions holomorphes
II.2. Analyticité des fonctions holomorphes
II.3. Les grands théorèmes sur les fonctions holomorphes
Exercices
III. Intégrales curvilignes, primitives
III.1. Intégration le long des chemins
III.2. Homotopie des chemins et intégrales de fonctions holomorphes.
III.3. Problèmes de primitives
III.4. Indice d’un point par rapport à un lacet
Exercices
IV. Points singuliers, fonctions méromorphes
IV.1. Fonctions holomorphes dans une couronne et séries de Laurent
IV.2. Points singuliers, fonctions méromorphes
IV.3. La sphère de Riemann
IV.4. Singularités essentielles
Exercices
V. Le théorème des résidus
V.1. Le théorème des résidus
V.2. Applications du théorème des résidus au calcul d’intégrales
Exercices
VI. Exemples de constructions de fonctions
VI.1. Exemples de fonctions périodiques
VI.2. Exemple de fonction bi-périodiques : la fonction ℘ de Weierstrass
VI.3. Produits infinis
VI.4. Le théorème des nombres premiers
Exercices
Notices biographiques
Niels Henrik Abel, 1802-1829
Archimède, 287 av. notre ère-212 av. notreère
Jakob Bernoulli, 1654-1705
Friedrich Bessel, 1784-1846
Bernard Bolzano, 1781-1848
Emile Borel, 1871-1956
Augustin-Louis Cauchy, 1789-1857
Felice Casorati, 1835-1890
Jean Le Rond d’Alembert, 1717-1783
Charles Jean Gustave Nicolas baron de la Vallée Poussin, 1866-1962
Leonhard Euler, 1707-1783
Leonardo Fibonacci, 1170 env.-env. 1250
Joseph Fourier, 1768-1830
Carl Friedrich Gauß, 1777-1855
Jacques Hadamard, 1865-1963
Camille Jordan, 1838-1921
Sofia Kowalevskaya, 1850-1891
Pierre Simon de Laplace, 1749-1827
Pierre Laurent, 1813-1854
Henri Lebesgue, 1875-1941
Joseph Liouville, 1809-1882
G¨osta Mittag-Leffler, 1846-1927
Giacinto Morera, 1856-1909
Emile Picard, 1856-1941
Henri Poincaré, 1854-1912
Bernhardt Riemann, 1826-1866
Eugène Rouché, 1832-1910
Karl Hermann Amandus Schwarz, 1843-1823
Karl Weierstraß, 1815-1897
Index
Bibliographie
 
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