UFR:cours d'analyse complexe s5

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UFR:cours d'analyse complexe s5

Université Lille 1
L'Unité de Formation et de Recherche (UFR) de Mathématiques
UFR de Mathématiques
Licence de Mathématiques (S5, année 2005–2006)
L305 : ANALYSE COMPLEXE
Responsable : Jean-François Burnol

Il s’agit du polycopié (154 pages) d’un cours fait par l’auteur à l’automne 2005.
UFR cours d'analyse complexe s5
Table des matières
Premiers pas
Dérivabilité au sens complexe, équations de Cauchy-Riemann
L’exponentielle complexe
Fonctions analytiques
Principe du prolongement analytique
Les fonctions holomorphes sont analytiques
Existence de primitives et Théorème de Cauchy-Goursat
Annexes
Différentiabilité
Séries doubles
Théorème de Dirichlet
L’équation différentielle y′′ + y = 0
Le Logarithme complexe
Ouverts étoilés et primitives
Fonctions puissances et série binomiale
Intégrales le long de chemins
Critère d’holomorphie, limites uniformes
Intégrales à paramètre complexe
Annexes
Interversion de séries et d’intégrales
Continuité d’intégrales à paramètres
Dérivabilité d’intégrales à paramètres
Intégrales doubles de fonctions continues
Dérivées secondes mixtes
Singularités isolées, Pôles
De la Série Binomiale à la fonction Gamma (I)
Formule des Compléments, Produit infini pour sinus, Nombres de Bernoulli
De la Série Binomiale à la fonction Gamma (II)
Convergence de la Série Binomiale
Les intégrales Euleriennes
Preuve de la Formule des Compléments
La série hypergéométrique et un Théorème de Gauss
Annexes
Formule de Stirling
Théorème d’Abel
Critère d’Abel-Dirichlet
Formules de Cauchy (pour un disque)
Formule de la moyenne et Principe du maximum
Théorème de Liouville
Séries de Laurent et Résidus
Invariance par homotopie
Indices de lacets, variation de l’argument
Le théorème des résidus avec indices
Le théorème des résidus en version classique
Annexes
Formules de Cauchy
Théorème de convergence uniforme de Weierstrass
Fonctions harmoniques
Sur les cycles homologiquement triviaux
Ouverts simplement connexes et Théorèmes de Riemann



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