cours et travaux dirigés fsr Analyse 1 smpc s1 2014-2015

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cours et travaux dirigés Analyse 1 smpc s1 fsr 2014-2015

Université Mohammed V-Agdal
Faculté des Sciences Rabat Agdal
UM5A FSR
Département de Mathématiques
Rabat
Module:Analyse 1
Filière SMPC Semestre 1
année universitaire : 2014/2015
prof: A. Hanine et E. Zerouali

cours et travaux dirigés Analyse 1 smpc s1 fsr

Contenu:
I-cours
Les suites
Limites et fonctions continues
Dérivée d'une fonction
Développements limités
Courbes paramétrées
II-Exercices corrigés
Séries N°: 1, 2 et 4 (25 exercices)

Nom du fichier : cours+td smpc-S1-fsr By ExoSup.com.pdf
Taille du fichier : 617 KB
Date de publication : 13/09/2015


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série n°3 (non corrigé)







Université Mohammed V.
Faculté des Sciences
Dép. de Mathématiques -Rabat.

Année : 2014-2015.
Analyse 1 (SMPC)

A. Hanine et E. Zerouali

Sommaire:
Chapitre 1
Les suites
1. Définitions
1.1. Définition d’une suite
1.2. Suite majorée, minorée, bornée
1.3. Suite croissante, décroissante
2. Limites
2.1. Limite finie, limite infinie
2.2. Propriétés des limites
 Opérations sur les limites
 Opérations sur les limites infinies
2.3. Formes indéterminées
2.4. Limite et inégalités
 Exemple d’application du théorème des « gendarmes »
3. Exemples remarquables
3.1. Suite géométrique
 Suite géométrique
3.2. Série géométrique
3.4. Approximation des réels par des décimaux
4. Théorème de convergence
4.1. Toute suite convergente est bornée
4.2. Suite monotone
 Suite harmonique
4.3. Deux exemples
4.4. Suites adjacentes
5. Suites récurrentes
5.1. Suite récurrente définie par une fonction
5.2. Cas d’une fonction croissante
5.3. Cas d’une fonction décroissante
6. Exercices

Chapitre 2
Limites et fonctions continues
1. Notions de fonction
1.2. Opérations sur les fonctions
1.3. Fonctions majorées, minorées, bornées
1.4. Fonctions croissantes, décroissantes
1.5. Parité et périodicité
 Interprétation graphique
2. Limites
2.1. Définitions
 Limite en un point
 Limite en l’infini
 Limite à gauche et à droite
 forme indéterminée
3. Continuité en un point
3.1. Définition
3.2. Propriétés
3.3. Prolongement par continuité
4. Continuité sur un intervalle
4.1. Le théorème des valeurs intermédiaires
 Théorème 4 : Théorème des valeurs intermédiaires
4.2. Applications du théorème des valeurs intermédiaires
4.3. Fonctions continues sur un segment
5. Fonctions monotones et bijections
5.1. Rappels : injection, surjection, bijection
5.2. Fonctions monotones et bijections
 Théorème 6 : Théorème de la bijection
5.3. Exercice

Chapitre 3 
Dérivée d’une fonction
1. Dérivée
1.1. Dérivée en un point
1.2. Tangente
2. Calcul des dérivées
2.1. Somme, produit,...
2.2. Dérivée de fonctions usuelles
2.3. Composition
2.4. Dérivées successives
Théorème 7 : Formule de Leibniz
3. Extremum local, théorème de Rolle
3.1. Extremum local
Démonstration : Preuve du théorème
3.2. Théorème de Rolle
Théorème 9 : Théorème de Rolle
4. Théorème des accroissements finis
4.1. Théorème des accroissements finis
 Théorème 10 : Théorème des accroissements finis
4.2. Fonction croissante et dérivée
4.3. Inégalité des accroissements finis
4.4. Règle de l’Hospital
5. Exercices

Chapitre 4
Développements limités
1. Formules de Taylor
1.1. Formule de Taylor avec reste intégral
1.2. Formule de Taylor avec reste f(n+1)(c)
1.3. Formule de Taylor-Young
1.4. Un exemple
2. Développements limités au voisinage d’un point
2.1. Définition et existence
2.2. Unicité
2.3. DL des fonctions usuelles à l’origine
2.4. DL des fonctions en un point quelconque
3. Opérations sur les développements limités
3.1. Somme et produit
3.2. Composition
3.3. Division
 Autre méthode
3.4. Intégration
4. Applications des développements limités
4.1. Calculs de limites
4.2. Position d’une courbe par rapport à sa tangente
4.3. Développement limité en +8
5. Exercice

Chapitre 5
Courbes paramétrées
1. Définitions
Exemples de courbes paramétrées classique
2. Étude d’une courbe parametré
2.1. Domaine de définition :
2.2. Branches infinies et asymptotes
 Asymptote verticale
 Asymptote horizontale
 Asymptote oblique
2.3. Dérivées et tableau de variation :
1. Dérivées
2. Tableau de variation.
2.4. Points particuliers
2.5. Intersection avec les axes :
2.6. Représentation graphique :
3. Exemples d’études
 Domaine de définition et dérivabilité
 Réduction du domaine d’étude
 Étude des points stationnaires
 Étude des branches infinies

Chapitre 6
Exercices

1. Série I
Exercice 1 Les suites suivantes sont-elle majorées, minorées, bornées, monotones ?
Exercice 2 Déterminer la limite de chacune des suites réelles suivantes :
Exercice 3 Contrôle continu N 1 (SMPC S1, 2011/2012)
Solution
Exercice 4
Solution
Exercice 5
Solution
Exercice 6
Solution
Exercice 7
Solution
Exercice 8
Solution
Exercice 9
Solution
Exercices complémentaires :
Exercice 10 Étudier la convergence de la suite (un)n définie par :
Exercice 11 Rattrapage (SMPC S1, 2011/2012)

2. Série II
Exercice 12 Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes :
Exercice 13
Solution
Exercice 14 Calculer lorsqu’elles existent les limites suivantes
Solution
Exercice 15
Solution
Exercice 16
Solution
Exercice 17
Solution
Exercice 18 Contrôle continu N 1 (SMPC S1, 2011/2012)
Exercice 19
Solution
Exercice 20
Exercice 21
Solution
Exercice 22
Solution
Exercice 23
Solution
Exercice 24
Solution

3. série IV
Exercice 25
Solution
3.1. Domaine d’étude.
3.2. Variations conjointes de
3.3. Point Singulier
 
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