Calcul différentiel et fonctions holomorphes Contrôle Corrigé ur1

univ-rennes1 Contrôle continu n°2-Corrigé

Université de Rennes 1
Année 2008-2009

Contrôle continu n°2-Corrigé
Calcul différentiel et fonctions holomorphes

Exercice 1.
On pose z = x + iy, avec x,y ∈ ℝ.
1. Montrer que :
sin(z) = sin(x) cosh(y) + i cos(x) sinh(y), et que
cos(z) = cos(x) cosh(y) - i sin(x) sinh(y).
2. Déterminer les constantes a, b et c telle que la fonction f(z) = x + ay + i(bx + cy)
soit holomorphe dans ℂ.
3. Déterminer les constantes a et b telle que la fonction
f(z) = cos(x) (2 cosh(y) + a sinh(y)) + i sin(x) (2 cosh(y) + b sinh(y))
soit holomorphe dans ℂ.
Quelle est alors l’expression de f en fonction de z?

Exercice 2.
1. Montrer que pour t ∈ [0, π/4 ] on a sin(2t) ≥ (4/π)t.
2. Soit R > 0 γR : [0, π/4 ] --> ℂ, définie par γR(t) = Reit.
Montrer que pour z = γR(t), on a :
eiz^2 = e -R^2 sin(2t).
3. Montrer que
∫γR eiz^2 dz = π(1 -e -R^2) /4R.
4. En déduire
lim R ->+oo ∫γR eiz^2 dz.