Analyse numérique 19 exercices corrigés fstbm 09/10
19 exercices corrigés sur l'analyse numérique
Université Sultan Moulay Slimane - usmsFaculté des Sciences et Techniques de Beni Mellal - fstbm
USMS - FST Beni Mellal
Module : Analyse numérique
2009-2010
par S. Melliani & L. S. Chadli
Polycopié d'exercices corrigés d'Analyse numérique
1-Interpolation polynômiale:5 exercices
2-Intégration numérique:7 exercices
3-La résolution de l’équation F(x)=0:4 exercices
4-Résolution des équations différentielles:3 exercices
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Date de publication : 07/09/2015
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Exercice 1
Déterminer le polynôme d’interpolation de Lagrange satisfais ant au tableau ci- dessous
Corrigé : Rappelons que le polynôme de Lagrange basé sur les points d’appui d’abscisses x 0, x 1, . . . , xn est de degré
n et s’écrit :
ici les points d’appui donnés par :
déterminons donc un polynôme de Lagrange de degré 3, celui-ci s’écrit :
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Exercice 2
Soit f(x) = 1
1 + x2 . Déterminer le polynôme d’interpolation de Lagrange pour les points d’appui d’abscisses : -2, -1,
0, 1, 2. Ensuite discuter l’erreur d’interpolation.
Corrigé : Soit f(x) = 1
1 + x2 . Les points d’appui sont :
Le polynôme de Lagrange e st de degré 4. Il s ’écrit
Calculons l’erreur théorique sur cette interpolation. celle-ci est donnée ou point x par :
Elle vérifie,
Comme ici on a 5 points d’appui, cette erreur est majorée par
Il reste à calculer M5
Un calcul assez long donne
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Exercice 3
Avec quelle précision peut-on calculer à l’aide de l’interpolation de Lagrange, si on prend les points : x0 = 100,
x1 = 121, x2 = 144.
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Exercice 4
1. Utiliser la formule d’interpolation de Lagrange pour trouver la cubique passant par 0.4, 0.5, 0.7, 0.8 pour
f(x) = sin(x)
2. Même question pour f(x) = 1
tan x
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Exercice 5
Soit f(x) = v2 + x
1. Determiner le polynôme P(x) Lagrange basé sur les points d’abscisses 0, 1 et 2.
2. Calculer P(0.1) et P(0.9), et comparer aux valeurs exactes. Evaluer l’erreur d’interpolation en ces deux points.
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Intégration numérique
Exercice 6
Déterminer par la méthode des trapèzes puis par ce lle de Simpson
f( x) dx sur la base du tableau suivant :
Ces points d’appui sont ceux donnant sin x, comparer alors les résultats obtenus avec la valeur exacte.
Corrigé :
1. Soit T l’approximation de I par la méthode des trapèzes, le pas h donné par h = xn - x 0
2. Soit S l’approximation de I par la méthode de Simpson. Celle-ci s’écrit,
Les points d’appui donnés dans cet execice correspondent à la fonction sin x. Et Z
sin xdx = 1. On constate donc
que l’approximation de I donnée par la méthode de Simpson est meilleure que celle par les trapèzes,
puisque |S - I| = 0.000135 et |T - I| = 0.012884.
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Exercice 7
On lance une fusée verticalement du sol et l’on mesure pendant les premières 80 secondes l’accéleration ? :
t (en s) 0 10 20 30 40 50 60 70 80
? (en m/s2) 30 31.63 33.44 35.47 37.75 40.33 43.29 46.70 50.67
Calcule la vitesse V de la fusée à l’instant t = 80 s, par la méthode des trapèzes puis par Simpson.
Corrigé : On sait que l’acceleration ? est la dérivée de la vitesse V, donc,
1. Calculons I par la méthode des trapèzes. Ici, d’après le tableau des valeurs, h = 10.
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Exercice 8
Calculer à l’aide de la métho de de s trapèzes l’intégrale avec le nombre de points d’appui n = 5 puis
n = 10.
Corrigé :
donc le pas d’intégration est h
. Calculons I par la méthode des trapèzes.
alors que la valeur exacte est approximativement 0, 772651. Avec ce pas plus petit l’approximation numérique est
meilleure.
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Exercice 9
Trouver le nombre n de subdivisions nécessaires de l’intervalle d’intégration [ -pi, pi], pour évaluer à 0.5 10-3 près,
grâce à la méthode de Simpson, l’intégrale cos x dx
Corrigé :
Le pas d’intégration est h=(b-a)/n=2*pi/n
. D’autre part l’erreur théorique sur la méthode de Simpson est donnée par
Ainsi pour que | E(h)| 6 0.5 10-3 il suffit que n vérifie
car pour la méthode de Simpson, le nombre de subdivisions de
l’intervalle [a, b] doit toujours être pair.
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Exercice 10
Soit a 6 x0 < x1 < ·· · < xn-1 < nn 6 b une partition fixée de l’intervalle [a, b]. Montrer qu’il existe un unique
(n + 1)-uplet (µ0, µ1 , . . . , µn) de nombres réels tels que
Pour tout polynôme P de degré inférieur ou égal à n.
Corrigé : Le polynôme P s’écrit dans la base de Lagrange P(x) =
, puis on intégre (1) sur [a, b], on obtient :
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Exercice 11
Calculer par la formule des rectangles en décomposant l’intervalle d’intégration en dix parties. Evaluer l’erreur commise.
Corrigé : On a = 1, b = 2 et n = 10. Le pas de discrétisation h = b - a
On applique la formule des rectangles sur chaque sous intervalle, on obtient
L’estimation de l’erreur comise par la méthode des rectangles est | E| 6 h2(b - a)
donc max ce qui implique que
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Exercice 12
1. Ecrire le polynôme d’interpolation de Lagrange´ P(x) d’une fonction f construite sur les points :
2. Par intégration du polynôme obtenu, déduire la formule d’intégration approchée suivante :
Corrigé :
Les polynômes auxiliaires de Lagrange associés sont :
l’expression du polynôme d’interpolation de Lagrange est
2. on intége le polynôme sur [-1, 1]
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La ré solution de l’équation F(x)=0
Exercice 13 Soit la fonction F(x) = 2x 3 - x - 2, on se propose de trouver les racines réelles de F par la méthode
des approximations successives.
1. Montrer que F possède une seule racine réelle a ? [1, 2]
2. Etudier la convergence des trois méthodes itératives suivantes : x 0 ? [1, 2] donné et
(a) xn +1 = 2x 3n - 2; (b) xn +1 = 2
2x 2
n - 1
Corrigé : Soit l’équation F(x) = 2x 3 - x - 2 = 0. Il est clair que F est continue et déivable sur R.
On a F(1) = -1, F(2) = 12, donc F(1) F(2) < 0. D’autre part, F 0(x) = 6x 2 > 0 sur [1, 2]. Donc, d’après le théorème de la valeur intermédiaire, il existe une seule solution a ? [1, 2] telle que F(a) = 0.
(a) Etudions la convergence de la suite xn +1 = g 1(xn) = 2x 3n - 2. Tout d’abord, cette suite, si elle converge, conduit
bien à une racine de F(x) = 0 car si a est la limite de la suite (xn), alors
a = 2a 3 - 2 donc F(a) = 2a 3 - a - 2
Par ailleurs, g 1 0 (x) = 6x 2 > 6 sur [1, 2]. Par conséquent, grâce au théorème des accroissements finis, il existe ?n
compris entre xn et xn +1 tel que
Ainsi, cette suite diverge et la méthode est à rejeter.
(b) Etudions la convergence de´ xn+1 = g2(xn) = 2
. Cette méthode, si elle converge conduit vers la racine a de
F(x) dans [1, 2], car si a est la limite de la suite (xn), alors
a =
2
En conséquence, on ne peut conclure sur la monotonie de g2
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Exercice 14
On veut résoudre dans R l’équation x = g(x) ou g(x) = - ln x,
1. a) Montrer qu’elle admet une seule racine a, montrer que a ? I = [0, 1].
b) Montrer que la méthode itérative : xn+1 = g(xn) diverge.
c) on considère alors g-1(x) = g-1 (g(x)) = x, (remarquer que g-1 existe)
montrer que la méthode itérative : xn+1 = g-1(xn) converge. En posant en = xn - a montrer que en+1 est de
signe opposé à en, que peut-on déduie ?
2. Retrouver a à l’aide de la méthode de Newton.
Corrigé :
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Exercice 15
Soit l’équation
x (1 + ex) = ex (1)
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1. Montrer que cette équation admet une racine unique s dans [0, 1]
2. Proposer une itération de point fixe pour l’équation (1).
3. Montrer, que cette itération converge vers la solution s.
4. Ecrire la méthode de Newton pour cette équation en précisant un bon choix de l’initialisation´ x 0.
Corrigé : On pose f(x) = x (1 + ex) - ex
1.d’après le théorème des valeurs intermédiaires la fonction f admet
au moins une racine sur [0, 1] et puisque f est monotone, cette racine est unique.
2. On considère l’itéation du point fixe suivante : xn +1 = g(xn) = exn
1 + exn
3. g est contractante car g0(x) = ex
puisque g est croissante, on a
D’après le théoème de convergence du point fixe, notre itéation proposée converge vers la solution de l’équation
(1).
4. La méthode de Newton :
Choix de l’initialisation x0, il doit vérifier la condition f(x0) f 00(x0) > 0. On a
f(x) = x(1 + ex) - ex et f 00(x) = (1 + x)ex, on prend par exemple x0 = 1
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Exercice 16 Soit l’équation ln(x) = 2 - x
1. Montrer que cette équation admet une solution unique a dans l’intervalle [0, 2]
2. Etudier l’itération
x0 donné
x
n+1 = 2 - ln (xn)
et montrer que cette itération converge vers a.
3. Montrer que l’équation proposée est équivalente à l’équation x = e2-x, et étudier l’itération
Qu’en déduisez-vous ?
4. Ecrire la méthode de Newton pour l’équation proposée et proposer un bon choix d’initialisation´ x0 de cette
méthode.
Corrigé : Soit la fonction f(x) = ln(x) + x - 2, on considère l’équation ‘f(x) = 0’
1. On a f(2) = ln(2) et lim
f(x) = -8, d’après le théorème des valeurs intermédiaires il existe au moins une
racine a de l’équation ’f(x) = 0‘ et puisque f est strictement monotone (coissante) sur ]0, 2[, alors la racine a
est unique.
donc g n’est pas contractante.
3. On a x = 2 - ln(x), donc pour x0 donné, l’itération xn+1 = 2 - ln(xn) est
équivalente à l’itération
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Résolution des équations différentielles
Exercice 17 Soit le problème de Cauchy suivant
1. Calculer la solution exacte.
2. Calculer les valeurs approchées y1 et y2 par la méthode d’Euler pour h = 0.1 et n = 10.
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Exercice 18 Soit l’équation différentielle à condition initiale y 0(t) = y(t) + t et y(0) = 1. Approcher la solution de
cette équation en t = 1 à l’aide de la méthode d’Euler en subdivisant l’intervalle de travail en 10 parties égales.
Comparer à la solution exacte.
Corrigé :
L’intervalle d’intégration est [0, 1]. Remarquons tout d’abord que f étant continue et lipschitzienne par rapport à y le
problème de Cauchy (1) admet une solution unique.
Méthode d’Euler Elle s’écrit
. D’ou l’approximation en t de y(t), est
Solution exacte de cette équation en appliquant la méthode de la variation de la constante est donnée par
Estimation de l’erreur : l’erreur effectivement commise lors de l’application de la méthode d’Euler est | E| = |3.4366 - 3.1874| =
Exercice 19 Soit l’équation différentielle
1. Calculer la solution exacte
2. En appliquant la méthode de Range Kutta d’ordre 2, calculer les valeurs approchées
